Topology of symplectomorphism groups of rational ruled surfaces

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be either <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S squared times upper S squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S^2\times S^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or the one point blow-up <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C upper P squared number-sign ModifyingAbove double-struck upper C upper P With bar squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> # </mml:mi> <mml:msup> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo accent="false"> ¯ </mml:mo> </mml:mover> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {C}}P^2\#\overline {{\mathbb {C}}P}^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C upper P squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {C}}P^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In both cases <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> carries a family of symplectic forms <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega Subscript lamda"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi> λ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\omega _{\lambda }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda greater-than negative 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda &gt; -1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> determines the cohomology class <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket omega Subscript lamda Baseline right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mi> λ </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[\omega _\lambda ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . This paper calculates the rational (co)homology of the group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G Subscript lamda"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi> λ </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G_\lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of symplectomorphisms of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper M comma omega Subscript lamda Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mi> λ </mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(M,\omega _\lambda )</mml:annotation>